Интерполяция сплайнами: пример построения сплайна в программе STATISTICA

Реальный пример: Клиническое испытание лекарств

Структура данных

Пусть нам заданы значения неизвестной функции на некотором наборе точек. (На самом деле, переменная y является значениями функции y=sinx на точках из отрезка [0;3].)

Построим по этим данным интерполяционную кривую, воспользуясь программой STATISTICA.

Шаг 1 Выберем 2М Графики – Диаграмма рассеяния в меню Графика.

Шаг 2 Откроем вкладку Дополнительно, выберем в качестве переменных x и y, в качестве подгонки - Сплайны.

Нажмем на клавишу ОK, и на экране появится построенная диаграмма рассеяния, на которой синими метками обозначены исходные значения, между которыми проведена интерполирующая кривая.

Изменим количество точек.

Теперь в качестве исходных данных имеем набор из двадцати точек.

Повторяя шаги, описанные выше, получим:

Попробуем также построить сплайн на наборе из пятидесяти точек.

Фрагмент таблицы исходных данных:

Полученный результат:

И наконец, попробуем построить сплайн по точкам, случайно брошенным на отрезок.

Исходные данные (фрагмент таблицы):

Построенный аналогичным способом график:

Теперь сравним полученные результаты с исходной функцией y=sinx, график которой имеет следующий вид:

Как видим, сплайны довольно точно интерполируют исходную функцию.

Можно отметить, если исходная функция сильно осциллирует, то количество точек должно быть большим – порядка числу периодов, но на практике такие случаи встречаются редко.

Реальный пример: Клиническое испытание лекарств

Вернемся к реальному примеру использования сплайнов в клинических испытаниях лекарств, о котором уже упоминалось в самом начале.

Очень важной характеристикой лекарственного препарата является т.н. AUC (Area under the plasma drug concentration-time curve) - площадь под кривой концентрация-время.

Данная кривая отражает фактическое воздействие препарата на организм человека после введения определенной дозы. Величина AUC измеряется в мг · ч / л. Площадь под кривой зависит от скорости выведения препарата из организма и введенной дозы. Общее количество препарата, выведенного из организма, можно подсчитать суммированием или интегрированием количества препарата, выведенного в каждый отдельный момент времени.

Величина AUC прямо пропорциональна дозе введенного препарата для препаратов с линейной фармакокинетикой и обратно пропорциональна т.н. показателю клиренс (clearance) препарата. Чем больше клиренс, тем меньше времени препарат находится в кровеносной системе и тем быстрее снижается его концентрация в плазме. В этом случае воздействие препарата на организм и площадь под кривой концентрация-время меньше.

В ходе клинических исследований, зависимость концентрации препарата в крови от времени может быть определена путем измерения концентрации в отдельные моменты времени. Затем, строится график концентрации и производится оценка AUC.

Часто для оценки AUC применяют метод трапеций: площадь под графиком концентрация-время разбивается на трапеции и AUC вычисляется суммированием площадей этих трапеций (что по сути эквивалентно интерполяции линейными функциями).

AUC = AUC0-2+AUC2-4+AUC4-6+AUC6-8+AUC8-10+AUC10-12+AUClast-infinity

В данной же статье приведем пример более точной оценки AUC, полученной, когда функция концентрации интерполируется кубическими сплайнами.

Пусть имеются данные о концентрации, полученные в ходе исследования:

Построим по ним диаграмму рассеяния и интерполируем значения при помощи сплайна в программе STATISTICA.

Как видно из графика, максимальное значение концентрации С_pmax = 29,78 мг/л соответствует времени t_max = 8 ч. Воспользуемся редактором данных графика и получим значения подгонки:

Рассчитаем по ним описанным выше методом трапеций значение AUC. Получим, AUC = 716,11 мг · ч / л.

 

Список литературы:

В.П.Боровиков. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: для профессионалов (2-е издание), СПб.: Питер, 2003. – 688 с.: ил.

E.A.Волков. Численные методы. Москва, “Наука”, Главная редакция физико-математической литературы, 1987 г.

Онлайн ресурс Лозаннского университета: http://sepia.unil.ch/pharmacology